9位數(shù)學家、橫跨30余年、5篇論文共計800+頁……
幾何朗蘭茲猜想，終于被證明！
它是朗蘭茲綱領的幾何化版本。
朗蘭茲綱領被視為現(xiàn)代數(shù)學研究中大的單項項目，被稱為“數(shù)學的大統(tǒng)一理論”。它提出數(shù)論、代數(shù)幾何、群表示論這三個獨立發(fā)展的數(shù)學分支之間其實密切相關。
費馬大定理被完全證明，就得益于對朗蘭茲綱領的應用。安德魯·威爾斯（Andrew Wiles）對一小部分函數(shù)的數(shù)論朗蘭茲的關系的證明，就解決了困擾數(shù)學界300年的難題。
幾何朗蘭茲猜想作為朗蘭茲綱領的幾何版本，在上世紀80年代被提出。它提供了一種將數(shù)論方法和概念應用于幾何問題（反之亦成立）的框架。
利用該猜想，可以為數(shù)學、物理領域諸多懸而未決的問題提供新思路和工具。比如可以應用于量子場論和弦理論研究。
因此，當幾何朗蘭茲猜想被證明，無疑會轟動數(shù)學界。
主要研究朗蘭茲綱領的菲爾茲獎得主彼得·舒爾茨（Peter Scholze）將這一新成果評價為“30年努力的巔峰”。
看到它能被解決真的太好了！
幾何朗蘭茲綱領創(chuàng)始人之一亞歷山大·貝林森（Alexander Beilinson）也表示：
這個證明真的非常美麗，是同類中好的。
該研究由丹尼斯·蓋茨戈里（Dennis Gaitsgory）和山姆·拉斯金（Sam Raskin）領導完成。
9人團隊中，還包括中國學者陳麟。
他是清華大學丘成桐數(shù)學科學中心助理教授，曾在15歲時摘得IMO金牌。
幾何，朗蘭茲綱領的后一環(huán)
朗蘭茲綱領的提出在1967年。
30歲的普林斯頓大學教授羅伯特·朗蘭茲（Robert Langlands）給“數(shù)學的羅塞塔石碑”創(chuàng)始人安德烈·韋爾 (André Weil) 寄去了一封長達17頁的手寫信，信中向闡述了他的愿景。
（這里的“羅塞塔石碑”是一種比喻，指的是由數(shù)學家André Weil提出的一個數(shù)學領域之間的類比，這個類比把數(shù)論、幾何學和函數(shù)域這三個看似不同的數(shù)學領域聯(lián)系在了一起。）
朗蘭茲寫道，在“羅塞塔石碑”的數(shù)論和函數(shù)域中，有可能創(chuàng)建出傅里葉分析的推廣。
傅里葉分析是一種將復雜波形表示為平滑振蕩三角函數(shù)波的框架，是現(xiàn)代電信、信號處理、磁共振成像以及許多現(xiàn)代生活的基本技術(shù)。
類似于傅里葉分析中函數(shù)與其傅里葉變換之間的關系，朗蘭茲綱領通過在這三個領域中建立類似的“對應關系”將它們聯(lián)系起來。
傅里葉變換在波和頻譜之間來回轉(zhuǎn)換，朗蘭茲綱領當中也有相應的“波”和“頻譜”。
其中“波”的一面由某些特殊函數(shù)構(gòu)成，“頻譜”的一面則由某些代數(shù)對象構(gòu)成，用以標記“波”的頻率：
在數(shù)論中，函數(shù)是定義在p-adic數(shù)域或者阿德爾環(huán)上的特殊函數(shù)，代數(shù)對象是Galois群或者與之相關的群的表示；
在幾何中，函數(shù)是定義在黎曼曲面上的特征層(D-模)，代數(shù)對象是黎曼曲面基本群在某個代數(shù)群G上的表示；
在函數(shù)域中，函數(shù)是定義在曲線上的特殊函數(shù)，代數(shù)對象是Galois群或者與之相關的群的表示。
因此，朗蘭茲綱領提供了一個統(tǒng)一的視角，將數(shù)論、幾何、函數(shù)域這三個數(shù)學分支聯(lián)系起來，并由此帶來了一系列深刻而廣泛的數(shù)學問題和猜想。
通過朗蘭茲綱領的框架，許多傳統(tǒng)數(shù)論中的難題可以轉(zhuǎn)化為表示論或其他領域中的問題，從而以新的視角和工具加以解決，朗蘭茲綱領的思想和方法在許多具體的數(shù)學問題中得到了應用。
△羅伯特·朗蘭茲
例如，費馬大定理的證明就借鑒了朗蘭茲綱領中的思想，將橢圓曲線和模形式聯(lián)系起來，并終通過這些聯(lián)系取得了成功。
除了數(shù)學本身，朗蘭茲綱領對物理學等其他學科也起到了重要作用，比如在量子場論和弦理論中，朗蘭茲綱領的某些思想和方法得到了應用。
其中，幾何朗蘭茲猜想不僅擁有更廣泛的應用和聯(lián)系，還提供了幾何視角的強大工具，因此在朗蘭茲綱領中顯得尤為重要。
但幾何朗蘭茲猜想證明的歷程也十分艱難，前后一共跨越了跨越30年，終的證明工作從2013年才開始。
核心的證明內(nèi)容，是關于黎曼曲面上的自相似性和對稱性的深層次對應關系。
再次借用傅里葉分析的模式來解釋的話，就是數(shù)學家們很早就了解了幾何朗蘭茲猜想的“頻譜”一側(cè)，但對“波”一側(cè)的理解則經(jīng)歷了漫長的過程。
甚至在朗蘭茲剛提出這一綱領的時候，幾何部分根本沒有被包括在內(nèi)，直到80年代，數(shù)學家弗拉基米爾·德林費爾德（Vladimir Drinfeld）意識到，通過用特征層替換特征函數(shù)，有可能創(chuàng)建一個幾何版本的朗蘭茲對應關系。
而幾何朗蘭茲猜想的精確表述，更是本世紀才出現(xiàn)——2012年，丹尼斯·蓋茨戈里（Dennis Gaitsgory）與迪瑪·阿林金（Dima Arinkin）一起，用一篇150多頁的論文給出了這一表述。
丹尼斯和阿林金指出，證明幾何朗蘭茲猜想的核心思想是找到一個等價關系，將代數(shù)曲線X上的G-叢（代數(shù)空間G上的纖維叢，其纖維是G的副本）的D-模（某些空間上的微分方程的解）范疇與朗蘭茲對偶群G^的局部系統(tǒng)的Ind-Coh范疇（包含了所有Ind-上同調(diào)對象）聯(lián)系起來，即：
2013年，丹尼斯寫下了幾何朗蘭茲猜想證明的草圖，但這個草圖依賴于許多尚未被證明的中間結(jié)果，此后的幾年，丹尼斯和他的合作者致力于證明這些結(jié)果。
2020年，丹尼斯開始思考如何理解每個特征層對“白噪聲”的貢獻，這一思想后來成為證明的關鍵部分。
這里的“白噪聲”指的是結(jié)合朗蘭茲猜想中的龐加萊層（Poincaré sheaf），作者以此類比是基于傅里葉變換中的正弦波。
2022年春，山姆·拉斯金（Sam Raskin）和他的學生喬阿基姆·費爾格曼（Joakim Fergeman）證明了每個特征層都以某種方式貢獻于“白噪聲”，這一結(jié)果讓丹尼斯確信他們很快就能完成證明。
從2023年起， 丹尼斯、山姆以及其他7位合作者向幾何朗蘭茲猜想發(fā)起了后攻關，終的證明包含5篇論文，篇幅超過800頁，并于今年發(fā)表。
第一篇關于函子（functor）的構(gòu)造，需要在特征為零的環(huán)境下，從自守（automorphic）到譜方向構(gòu)造幾何朗蘭茲函子LG并證明其等價性，即能夠在兩個范疇之間建立一一對應的關系。
如果這一等價性能夠得到證明，那么就能說明幾何朗蘭茲猜想成立。
第二篇研究了Kac-Moody定位與全局的相互作用，證明了該函子在特定條件下確實是一個等價性函子，從而推進了幾何朗蘭茲猜想的證明。
第三篇起到了橋梁的作用，不僅將已知的等價性結(jié)果擴展到了更一般的情況，而且還通過Kac-Moody局部化技術(shù)，為理解幾何朗蘭茲函子與常數(shù)項函子的兼容性提供了關鍵的洞見。
同時，通過證明在可約譜參數(shù)下幾何朗蘭茲猜想的兼容性，這一篇論文為進一步證明不可約譜參數(shù)下的幾何朗蘭茲猜想奠定了基礎。
在第四篇論文中，作者們證明了一個關鍵的定理——Ambidexterity定理。這個定理表明，LG-cusp（可以視為LG在一個特定的、更小的范疇上的行為）的左伴隨和右伴隨是同構(gòu)的，這是證明LG是一個等價性函子的重要步驟。
后一篇論文則利用這一結(jié)論將猜想推廣到了一般情況，為曠日持久的證明工作畫上了句號。
兩代數(shù)學家合力攻堅
研究團隊由哈佛大學教授丹尼斯·蓋茨戈里（Dennis Gaitsgory）和耶魯大學教授山姆·拉斯金（Sam Raskin）領銜。
其余作者從左至右順時針方向分別是：達里奧·貝拉爾多（Dario Beraldo）、陳麟（Lin Chen）、凱文·林（Kevin Lin）、尼克·羅森布呂姆（Nick Rozenblyum）、喬阿基姆·費爾格曼（Joakim F?rgeman）、賈斯廷·坎貝爾（Justin Campbell）和迪瑪·阿林金（Dima Arinkin）。
△圖源：Quantamagazine
值得關注的是，研究小組包括中國學者：陳麟。
陳麟，清華大學丘成桐數(shù)學科學中心助理教授。2016在北京大學取得學士學位，2021年博士畢業(yè)于哈佛大學，曾榮獲哈佛2020-2021優(yōu)秀獎學金。
他曾在十幾歲時就展現(xiàn)出超強的數(shù)學天賦，12歲進入中國數(shù)學奧林匹克（CMO）競賽并獲得滿分，15歲進入國家隊并參加國際數(shù)學奧林匹克（IMO）競賽取得金牌。
陳麟長期研究幾何朗蘭茲綱領，他與該方向的結(jié)緣，正是來自丹尼斯·蓋茨戈里。
陳麟在此前采訪中透露，他是在丹尼斯的帶領下才進入幾何朗蘭茲這一領域。博士之前，他幾乎對幾何表示論一無所知，很多基礎知識都是在丹尼斯的指導下學習的。
博士畢業(yè)后，陳麟也一直參與丹尼斯和其他合作者的研究項目，有關全局的范疇化幾何朗蘭茲猜想。
完成猜想證明以及論文撰寫后，他還會繼續(xù)思考關于局部幾何朗蘭茲的問題。
實際上，朗蘭茲綱領吸引著諸多中國數(shù)學學者。北大黃金一代中的惲之瑋、張偉、袁新意、朱歆文，也正在攀登這一高峰。
參考鏈接：
[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061
本文鏈接：http://morphism.cn/news41210.html幾何朗蘭茲猜想搞定！30年800+頁論文、中國學者陳麟系主要作者
